定积分的计算

以上解答满意了么？

计算这两道题要用三角公式  (sinx)^2 = (1/2)[ 1 - cos(2x) ]

1、[ 1/(2π) ] ∫( 0，π ) { Im* [ sin(ωt) ]^2 } d(ωt)

= [ Im^2/(4π) ] ∫( 0，π ) { 1 - cos(2ωt) } d(ωt)

= [ Im^2/(8π) ] ∫( 0，π ) { 1 - cos(2ωt) } d(2ωt)

= [ Im^2/(8π) ] [ 2ωt - sin(2ωt) ] ( 0，π )

= [ Im^2/(8π) ] [ 2π - sin(2π) ] 

= Im^2/4

原式 = √( Im^2/4 ) = Im/2 。

2、[ 1/(2π) ] ∫( π/2，π ) { Im* [ sin(ωt) ]^2 } d(ωt)

= [ Im^2/(8π) ] ∫( π/2，π ) { 1 - cos(2ωt) } d(2ωt)

= [ Im^2/(8π) ][ 2ωt - sin(2ωt) ] ( π/2，π )

= [ Im^2/(8π) ][ 2π - sin(2π) - π + sin(π) ]

= Im^2/8

原式 = √( Im^2/8 ) = Im/(2√2) 。

两个题目中被积函数是一样的，只要对被积函数用三角函数中的倍角公式进行变换：

Im^2*[sin(ωt)]^2＝Im^2*{ [1－cos(2ωt) ] / 2 }

再把各自的上下限代入计算就可以了。

【如果】∫【0，π】[Isin(ωt)}²dt

=I²∫【0，π】0.5[1-cos(2ωt)]dt

=I²[0.5t-0.25sin(2ωt)]【上限π，下限0】

=πI²/2-0.25sin(2πω)

【若ω是整数】

=πI²/2