已知f（x-1）=x²+2x+3,求函数f（x）的值域

解：令t=x-1

      则x=t=1

         f(t)=(t+1)²+2（t+1)+3

              =t²+2t+1+2t+2+3

              =t²+4t+6

      所以f(t)=(t+2)²+2

          即 f(x)=(x+2)²+2    

              其值域为 [2 , +∞）

x - 1 = u，x = u + 1；

x^2 = u^2 + 2u + 1，2x = 2u + 2；

f(u) = u^2 + 2u + 1 + 2u + 2 + 3

= u^2 + 4u + 6

= ( u + 2 )^2 + 2；

即 f(x-1) 最小值为 2，值域为 [ 2，∞ ) 。

f(x)=x²+2x+3

f(x)=(x+1)²+2≥2

函数值域是区间[2，+∞)

最小值f(-1)=2

f(x-1)=x^2+2x+3=(x-1)^2+4(x-1)+6

所以f(x)=x^2+4x+6=(x+2)^2+2

因f(x-1)题意无定义域限制，故f(x)定义域为R

所以f(x)值域为[2.+∞）

令x-1=t,   则x=t+1,    代入已知等式得

f(t)=(t+1)²+2(t+1）+3=t²+4t+6

f(t)=t²+4t+6,   所以  f(x)=x²+4x+6=(x+2)²+2≥2  ，  

即  f(x)的值域是  [2，+∞）

f（x-1）=x²+ 2x+3

=x²-2x+1+4x-4+6

=（x-1）²+4（x-1）+6

f（x）=x²+ 4x+6

=x²+ 4x+4+2

=（x+2）²+2

值域为2到无穷大。