5的2次方乘3的2n加1次方乘3的3n次方减3的3n次方乘6的n加2次方怎么证明能被13整除

5的2次方乘3的2n加1次方乘3的3n次方减3的3n次方乘6的n加2次方

=5²×3×3^2n×3^3n-3^3n×6²×6^n

=5²×3×9^n×27^n-27^n×6²×6^n

=27^n×(5²×3×9^n-6²×6^n)

5²[3^(2n+1)]3^(3n)-[3^(3n)]6^(n+2)

=75*3^(5n)-36[3^(4n)]*2^n

=[3^(4n)](75*3^n-36*2^n)

=[3^(4n)]*[39*3^n+36(3^n-2^n)]

其中39*3^n是13的倍数

3^n-2^n并不是13的倍数

题目的结论不能成立

5^2 * 3^(2n+1) * 3^(3n) - 3^(3n) * 6(n+2)

= 3^(3n) * [ 25 * 3 * 3^(2n) - 2^(n+2) * 3^(n+2) ]

= 3^(3n) * 3^(n) * [ 25 * 3 * 3^n - 4 * 2^n * 9 ]

= 3^(4n) * 3 * [ 25 * 3^n - 12 * 2^n ]

= 3^(4n+1) * [ 25 * 3^n - 12 * 2^n ]

3的任意次方不能整除13，所以原式要整除13，必须是方括号中数能整除13；

n = 0，25  - 12 = 13，能整除13；

n = 1，25 * 3 - 12 * 2 = 51，不能整除13；

所以，只有 n 为特定值时，原式才能整除13 。

可以验证，仅当 n = 4m 时，25 * 3^n - 12 * 2^n 能整除13 ；m 是自然数 。