参加大型团体操的同学共有240名，他们面对教练站成一排，

240 中，有 80个 3的倍数，48个 5 的倍数，34个 7 的倍数；

3的倍数向后转时，3和5 的公倍数、3和7 的公倍数已转了；

同样，5的倍数向后转时，5和7 的公倍数已转了；

所以，向后转的学生数为

240/3 + 240/5 + 240/7 - 240/( 3 * 5 ) - 240/( 3 * 7 ) - 240/( 5 * 7 )

= 80 + 48 + 34 - 16 - 11 - 6

= 129

没转的、面对教练的还有 240 - 129 = 111 人 。

240名同学，报数字3的倍数的同学向后转，有80名同学向后转了，面对教练的同学有240－80＝160﹙名﹚。

报数是5的倍数同学向后转，有48名同学向后转了，但是在80名向后转的同学中，3和5的倍数同学有16名又面对教练了，现在面对教练的同学有：160－48＋16＝128﹙名﹚。背对教练的同学有：80－16＋48＝112﹙名﹚。

报数是7的倍数的学生向后转，有34名同学向后转了，但是在34名向后转的同学中，3和7的倍数同学有11名又面对教练了，5和7的倍数同学有6名又面对教练了，现在面对教练的同学有：128－34＋11＋6＝111﹙名﹚。背对教练的同学有：112＋34－11－6＝129﹙名﹚。

答：最后面对教练的同学有111名。