在点处的切线方程

求过点M(1，1)的曲线xy+lny=1的切线方程。

【检验M是否在曲线上】

∵ 1*1+ln1=1，∴M在曲线上。

切线方程为y-1=y'(1，1)*(x-1)。

【求切线斜率】

对曲线方程求导，y+xy'+y'/y=0。

把M坐标代入，1+y'+y'=0，y'=-1/2。

【把斜率代入切线方程】

y-1=-(x-1)/2，x+2y=3。

方程两边求导   y + xy' + y'/y = 0

y'( x + 1/y ) = -y

y' = -y/[ ( xy + 1 )/y ] = -y^2/( xy + 1 )

y'( 1，1 ) = -1/( 1 + 1 ) = -1/2

带入M坐标，切线 y = -1/2 + b = 1，b = 3/2；

切线方程 y = -x/2 + 3/2 。

方程  xy+lny=1 ,  显然  x=1,  y=1 满足这个方程，所以M (1,1)是 曲线上的一个点，正是切点

方程两边对x求导数（注意其中的y是x的函数）得：  y+xy′+y′/y=0

由原题必有y>0,所以  y≠0， 由上式两边都乘以Y得  y²+xyy′+y′=0,   所以  y′=-y²/(xy+1)

把M（1,1）代入得 切点M（1,1）处的切线斜率  y′=-1/2
过切点  M(1,1),斜率为  -1/2的直线 是  y-1=(-1/2)(x-1),   整理得所求的切线就是 x+2y-3=0